Question

(本小题满分12分)已知函数f(x)=x²－1(x≥1)的图象是C₁，函数y=g(x)的图象C₂与C₁关于直线y=x对称.
(1)求函数y=g(x)的解析式及定义域M；
(2)对于函数y=h(x)，如果存在一个正的常数a，使得定义域A内的任意两个不等的值x₁，x₂都有|h(x₁)－h(x₂)|≤a|x₁－x₂|成立，则称函数y=h(x)为A的利普希茨Ⅰ类函数.试证明：y=g(x)是M上的利普希茨Ⅰ类函数；
(3)设A、B是曲线C₂上任意不同两点，证明：直线AB与直线y=x必相交.

Answer 1

（1）g(x)= ，M={x|x≥0}；（2）略；（3）略

解：(1)由y=x²－1(x≥1)，得y≥0，且x=，
∴f^－1(x)= (x≥0)，
即C₂：g(x)= ，M={x|x≥0}.                                4分
(2)对任意的x₁，x₂∈M，且x₁≠x₂，则有x₁－x₂≠0，x₁≥0，x₂≥0.
∴|g(x₁)－g(x₂)|=|－|=＜|x₁－x₂|.
∴y=g(x)为利普希茨Ⅰ类函数，其中a=.                         8分
(3)设A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)是曲线C₂上不同两点，x₁，x₂∈M，且x₁≠x₂.
由(2)知|k_AB|=||=＜＜1.
∴直线AB的斜率k_AB≠1.
又∵直线y=x的斜率为1，∴直线AB与直线y=x必相交.                                                      12分