Question

（2012•安徽模拟）函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）在x=1和x=-1处分别取得最大值和最小值，且对于任意x1，x2∈[-1，1]，x1≠x2，都有

f(x 1)-f(x2)

x1-x2

＞0，则（　　）

A．函数y=f（x+1）一定是周期为4的偶函数

B．函数y=f（x+1）一定是周期为2的奇函数

C．函数y=f（x+1）一定是周期为4的奇函数

D．函数y=f（x+1）一定是周期为2的偶函数

Answer 1

分析：利用已知条件判断函数的单调性，求出函数的最值，推出函数的周期，即可得到正确选项．

解答：解：因为函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）在x=1和x=-1处分别取得最大值和最小值，
且对于任意x1，x2∈[-1，1]，x1≠x2，都有

f(x 1)-f(x2)

x1-x2

＞0，
即函数y=f（x）在[-1，1]上是单调增函数，
∴f（x+1）在x=0和x=-2处分别取得最大值和最小值，即函数的周期是T=2×[0-（-2）]=4，
函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）在x=1和x=-1处分别取得最大值和最小值，
所以φ=0，函数f（x）=Asinωx是奇函数，x=1是对称轴，
函数向左平移1单位，得到函数f（x+1），它的对称轴是y轴，
∴函数y=f（x+1）一定是周期为4的偶函数．
故选A．

点评：本题考查函数的单调性以及函数的周期的求法，考查逻辑推理能力计算能力．