Question

已知二次函数f（x）=ax²+bx+c（a＞0）的图象与x轴有两个不同的公共点，若f（c）=0且0＜x＜c时，f（x）＞0．
（1）试比较

1

a

与c的大小；
（2）证明：-2＜b＜-1．

Answer 1

分析：（1）由题意得c、

1

a

是方程f（x）=0的两个根，欲比较

1

a

与c的大小，利用反证法去证明

1

a

＜c不可能，从而得到

1

a

＞c；
（2）先由f（c）=0，得b=-1-ac．从而得到b＜-1，再利用（1）的结论，比较f（x）图象的对称轴与

1

a

的大小，从而确定b的取值范围即可．

解答：解：（1）∵f（x）的图象与x轴有两个不同的交点，
∴f（x）=0有两个不同的实数根x₁，x₂．
∵f（c）=0，
∴c是方程f（x）=0的一个根，
不妨设x₁=c，
∵x₁x₂=

c

a

，∴x₂=

1

a

（

1

a

≠c），
假设

1

a

＜c，又

1

a

＞0，由0＜x＜c时，f（x）＞0，
得f（

1

a

）＞0，与已知f（

1

a

）=0矛盾，∴

1

a

＞c．
（2）证明：由f（c）=0，得ac+b+1=0，
∴b=-1-ac．
又a＞0，c＞0，∴b＜-1．
f（x）图象的对称轴方程为
x=-

b

2a

=

x1+x2

2

=

1 a +c

2

＜

1 a + 1 a

2

=

1

a

，
即-

b

2a

＜

1

a

．
又a＞0，∴b＞-2，∴-2＜b＜-1．

点评：本题主要考查不等式的证明，有些不等式无法利用用题设的已知条件直接证明，我们可以间接的方法--反证法去证明，
即通过否定原结论---导出矛盾---从而达到肯定原结论的目的．