Question

已知函数f（x）=log_a（1+x），g（x）=log_a（1-x）其中（a＞0且a≠1），设h（x）=f（x）-g（x）．
（1）求函数h（x）的定义域，判断h（x）的奇偶性，并说明理由；
（2）若f（3）=2，求使h（x）＜0成立的x的集合．

Answer 1

分析：（1）求函数h（x）的定义域，即是使得函数f（x），g（x）都有意义的条件，从而可得，利用函数奇偶函数的定义检验h（-x）与h（x）的关系可判断函数的奇偶性
（2）由f（3）=2得a=2，根据对数的运算性质可得h（x），代入解不等式即可

解答：解：（1）由题意，得

1+x＞0?x＞-1 1-x＞0?x＜1

解得-1＜x＜1
故h（x）的定义域为（-1，1）．（3分）
h（x）的定义域为（-1，1），关于数0对称，
且h（-x）=f（-x）-g（-x）=log_a（1-x）-log_a（1+x）=-h（x）
故h（x）为奇函数．（7分）
（2）由f（3）=2得a=2（9分）
h(x)=log2(1+x)-log2(1-x)=log2(

1+x

1-x

)＜0=log21
即

1+x 1-x ＜1?x＜0或x＞1 -1＜x＜1

，
解得-1＜x＜0
∴所求的x的集合{x|-1＜x＜0}（14分）

点评：本题综合考查了对数函数的定义域的求解，对数的运算性质，函数奇偶性的判断，对数不等式的解法，牵涉的知识比较多，但只要掌握基本知识、基本方法，问题就能迎刃而解．