Question

已知椭圆C₁、抛物线C₂的焦点均在x轴上，C₁的中心和C₂的顶点均为原点O，从每条曲线上取两个点，将其坐标记录于下表中：

x	1	-	2
y		0	-4

（Ⅰ）求C₁、C₂的标准方程；
（Ⅱ）过点曲线的C₂的焦点B的直线l与曲线C₁交于M、N两点，与y轴交于E点，若=λ₁，=λ₂，求证：λ₁+λ₂为定值．

Answer 1

解：（Ⅰ）设抛物线C₂：y²=2px，则有（x≠0），
据此验证4个点知（1，）、（2，-4）在抛物线上，易求y²=8x…（2分）
设C₁：（a＞b＞0），把点（-，0）（，）代入得：C₁方程为…（5分）
（Ⅱ）证明：设M，N，E点的坐标分别为M（x₁，y₁）N（x₂，y₂），E（0，y₀），
又易知B点的坐标为（2，0）．且点B在椭圆C₁内，故过点B的直线l必与椭圆相交．
∵=λ₁，∴（x₁，y₁-y₀）=λ₂（2-x₁，-y₁）
∴，． …（8分）
将M点坐标代入到椭圆方程中得：，
去分母整理，得λ₁²+10λ₁+5-5y₀²=0． …（10分）
同理，由可得：λ₂²+10λ₂+5-5y₀²=0． …（12分）
∴λ₁，λ₂是方程x²+10x+5-5y₀²=0的两个根，∴λ₁+λ₂=10．…（14分）
分析：（Ⅰ）设抛物线C₂：y²=2px，则有（x≠0），据此验证4个点知（1，）、（2，-4）在抛物线上可求抛物线方程，设C₁：（a＞b＞0），把点（-，0）（，）代入可求椭圆方程
（Ⅱ）证明：设M，N，E点的坐标分别为M（x₁，y₁）N（x₂，y₂），E（0，y₀），B（2，0）．由点B在椭圆C₁内，故过点B的直线l必与椭圆相交．=λ₁，可得（x₁，y₁-y₀）=λ₂（2-x₁，-y₁），将M点坐标代入到椭圆方程可得，由同理可求，从而可求
点评：本题主要考查了抛物线的方程及椭圆方程的求解，直线与椭圆的位置关系的应用，考查了计算的能力．