Question

在△ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a，b，c，AD是BC边上的高，且AD=BC
（Ⅰ）若B=C，求sinA的值；
（Ⅱ）求

c

b

+

b

c

的取值范围．

Answer 1

考点：正弦定理的应用

专题：解三角形

分析：（Ⅰ）根据B=C，即可求出tanA，然后求sinA的值；
（Ⅱ）根据正弦定理和辅助角公式将

c

b

+

b

c

进行化简，然后根据三角函数的图象和性质即可得到结论

解答： .解：（I）∵B=C

∴AD=2BD=2DC，
即tan

A

2

=

1

2

，
∴tanA=

2× 1 2

1-( 1 2 )2

=

4

3

，
∴sinA=

4

5

．
（II）由题意得：

1

2

bcsin?A=

1

2

a2，
∴

a2

bc

=sin?A，
则

c

b

+

b

c

=

b2+c2

bc

=

a2+bccos?A

bc

=sin?A+2cos?A=

5

sin(A+θ)，其中cosθ=

1

5

，

π

3

＜θ＜

π

2

，
易知B=C时，A最大，设为a，
由 （I）知，

π

4

＜A＜

π

3

，
又0＜A＜π，
∴A+θ∈（θ，θ+π）⊆（0，π），
∴当A+θ=

π

2

，即

5

sin(A+θ)取到最大值

5

，
当A→0时，

5

sin(A+θ)→2且

5

sin(A+θ)＞2，
当A=π时，

5

sin(A+θ)=

5

×(

4

5

×

1

5

+

3

5

×

2

5

)=2，
∴

c

b

+

b

c

∈[2，

5

]．

点评：本题主要考查正弦定理的应用，利用辅助角公式将函数进行化简是解决本题的关键，考查学生的计算能力．