Question

已知函数f（x）=2^x+1，将函数y=f^-1（x）的图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位，就得到y=g（x）的图象．
（1）写出y=g（x）的解析式；
（2）求出F（x）=g（x²）-f^-1（x）的最小值及取得最小值时x的值．

Answer 1

分析：（1）直径求出反函数，利用图象平移，即可写出y=g（x）的解析式；
（2）表示出F（x）=g（x²）-f^-1（x），利用基本不等式求出它的最小值，即可求出取得最小值时x的值．

解答：解：（1）∵f（x）═2^x+1；
∴f^-1（x）=log₂x-1；则向左平移2个单位，再向上平移1个单位，得到y-1=log₂（x+2）-1，
∴y=log₂（x+2），
即g（x）=log₂（x+2）（x＞-2）．
（2）∵F（x）=g（x²）-f^-1（x）；
∴F(x)=log2(x2+2)-(log2x-1)=log2

x2+2

x

+1≥log22

x• 2 x

+1=

5

2

当且仅当x=

2

x

即x=

2

(x=-

2

舍去）时，
Fmin(x)=F(

2

)=

5

2

．

点评：本题考查反函数，函数的最值及其几何意义，对数函数的图象，基本不等式，考查分析问题解决问题的能力，是中档题．