Question

16．若关于x的不等式a-ax＞e^x（2x-1）（a＞-1）有且仅有两个整数解，则实数a的取值范围为（　　）

• A． （-$\frac{3}{4}$，$\frac{5}{3{e}^{2}}$]
• B． （-1，$\frac{3}{2e}$]
• C． （-$\frac{3}{2e}$，-$\frac{5}{3{e}^{2}}$]
• D． （-$\frac{3}{4}$，-$\frac{5}{3{e}^{2}}$）

Answer 1

分析 构造函数，作出两个函数的图象得到不等式关系进行求解即可．

解答 解：由a-ax＞e^x（2x-1）（a＞-1），
设g（x）=a-ax，h（x）=e^x（2x-1），
h′（x）=e^x（2x-1）+2e^x=e^x（2x+1），
由h′（x）＞0得x＞-$\frac{1}{2}$，
由h′（x）＜0得x＜-$\frac{1}{2}$，
即当x=-$\frac{1}{2}$时，函数h（x）取得极小值h（-$\frac{1}{2}$），
作出g（x）的图象如图：
若g（x）＞h（x）解集中的整数恰为2个，
则x=0，-1是解集中的两个整数，
则满足$\left\{\begin{array}{l}{g（-1）＞h（-1）}\\{g（-2）≤h（-2）}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{2a＞\frac{-3}{e}}\\{3a≤\frac{-5}{{e}^{2}}}\end{array}\right.$，
则$\left\{\begin{array}{l}{a＞\frac{-3}{2e}}\\{a≤-\frac{5}{3{e}^{2}}}\end{array}\right.$，即-$\frac{3}{2e}$＜a≤-$\frac{5}{3{e}^{2}}$，
即实数a的取值范围是（-$\frac{3}{2e}$，-$\frac{5}{3{e}^{2}}$]，
故选：C

点评 本题主要考查函数与方程的应用，根据不等式整数根的个数，结合数形结合建立不等式关系是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．