Question

13．已知曲线的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{k}{（1+{k}^{2}）}}\\{y=\frac{{k}^{2}}{（1+{k}^{2}）}}\end{array}\right.$，求曲线所表示的图形面积．

Answer 1

分析 由已知可得：当k≠0时，$\frac{y}{x}=k$，代入$y=\frac{{k}^{2}}{1+{k}^{2}}$化简即可得出．当k=0时，参数方程表示点（0，0），即可得出．

解答 解：由已知可得：当k≠0时，$\frac{y}{x}=k$，代入$y=\frac{{k}^{2}}{1+{k}^{2}}$可得$y=\frac{\frac{{y}^{2}}{{x}^{2}}}{1+\frac{{y}^{2}}{{x}^{2}}}$，化为x²+y²=y，即${x}^{2}+（y-\frac{1}{2}）^{2}$=$\frac{1}{4}$，此时所表示的图形面积S=π×$（\frac{1}{2}）^{2}$=$\frac{π}{4}$；
当k=0时，参数方程表示点（0，0），此时所表示的面积S=0．

点评 本题考查了参数方程化为普通方程的方法，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．