Question

已知函数f（x）=lnx，g（x）=

1

2

x²-2x．
（1）设h（x）=f（x+1）-g′（x）（其中g′（x）是g（x）的导函数），求h（x）的最大值；
（2）证明：当0＜b＜a时，求证：f（a+b）-f（2a）＜

b-a

2a

；
（3）设k∈Z，当x＞1时，不等式k（x-1）＜xf（x）+3g′（x）+4恒成立，求k的最大值．

Answer 1

分析：（1）h（x）=f（x+1）-g′（x）=ln（x+1）-x+2，x＞-1，h′（x）=

-x

x+1

，利用导数研究函数的单调性，可求得当x=0时h（x）取得最大值h（0）=2；
（2）当0＜b＜a时，-1＜

b-a

2a

＜0，由（1）知：当-1＜x＜0时，h（x）＜2，即ln（x+1）＜x，从而可证得结论；
（3）不等式k（x-1）＜xf（x）+3g′（x）+4化为k＜

xlnx+x

x-1

+2即k＜

xlnx+x

x-1

+2对任意x＞1恒成立，令g（x）=

xlnx+x

x-1

+2，则g′（x）=

x-lnx-2

(x-1)2

，分析得到函数g（x）=

xlnx+x

x-1

+2在（1，x₀），上单调递减，在（x₀，+∞）上单调递增（x₀∈（3，4））．从而可求k的最大值．

解答：解：（1）h（x）=f（x+1）-g′（x）=ln（x+1）-x+2，x＞-1，
所以 h′（x）=

1

x+1

-1=

-x

x+1

．
当-1＜x＜0时，h′（x）＞0；当x＞0时，h′（x）＜0．
因此，h′（x）在（-1，0）上单调递增，在（0，+∞）上单调递减．
因此，当x=0时h（x）取得最大值h（0）=2；
（2）证明：当0＜b＜a时，-1＜

b-a

2a

＜0，
由（1）知：当-1＜x＜0时，h（x）＜2，即ln（x+1）＜x．
因此，有f（a+b）-f（2a）=ln

b+a

2a

=ln（1+

b-a

2a

）＜

b-a

2a

．
（3）不等式k（x-1）＜xf（x）+3g′（x）+4化为k＜

xlnx+x

x-1

+2
所以k＜

xlnx+x

x-1

+2对任意x＞1恒成立．
令g（x）=

xlnx+x

x-1

+2，则g′（x）=

x-lnx-2

(x-1)2

，
令h（x）=x-lnx-2（x＞1），则 h′（x）=1-

1

x

=

x-1

x

＞0，
所以函数h（x）在（1，+∞）上单调递增．
因为h（3）=1-ln3＜0，h（4）=2-2ln2＞0，
所以方程h（x）=0在（1，+∞）上存在唯一实根x₀，且满足x₀∈（3，4）．
当1＜x＜x₀时，h（x）＜0，即g′（x）＜0，当x＞x₀时，h（x）＞0，即g′（x）＞0，
所以函数g（x）=

xlnx+x

x-1

+2在（1，x₀），上单调递减，在（x₀，+∞）上单调递增．
所以[g（x）]_min=g（x₀）=

x0 (1+lnx0)

x0-1

+2=

x0 (1+x0-2)

x0-1

+2=x₀+2∈（5，6）．
所以k＜[g（x）]_min=x₀+2∈（5，6）．
故整数k的最大值是5．

点评：本题考查导数在最大值、最小值问题中的应用，考查函数的单调性与最值，考查综合分析与转化、运算的能力，考查构造函数研究函数性质的能力，属于难题．