Question

已知函数f（x）=sin2xcosφ-2cos²xsin（π-φ）-cos（

π

2

+φ）（-

π

2

＜ϕ＜

π

2

），在x=

π

6

时取得最大值．
（1）求φ的值；
（2）将函数y=f（x）图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象，若g（α）=

1

3

，α∈（-

π

2

，0），求cosα的值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）利用三角恒等变换，化简f（x）=sin（2x-φ），再由y=f（x）在x=

π

6

时取得最大值，即可求得φ；
（2）依题意得g（α）=sin（α+

π

6

）=

1

3

，又α∈（-

π

2

，0），可求得cos（α+

π

6

）的值，利用两角差的余弦可得cosα=cos[（α+

π

6

）-

π

6

]，从而可得答案．

解答： 解：（1）f（x）=sin2xcosφ-2cos²xsin（π-φ）-cos（

π

2

+φ）
=sin2xcosφ-（1+cos2x）sinφ+sinφ
=sin（2x-φ），
∵y=f（x）在x=

π

6

时取得最大值，∴2×

π

6

-φ=2kπ+

π

2

（k∈Z），
∴φ=-2kπ-

π

6

（k∈Z），
又φ∈（-

π

2

，

π

2

）
∴φ=-

π

6

；
（2）依题意，得g（x）=sin（x+

π

6

），
∵g（α）=sin（α+

π

6

）=

1

3

，α∈（-

π

2

，0），
∴cos（α+

π

6

）=

1-( 1 3 )2

=

2 2

3

，
∴cosα=cos[（α+

π

6

）-

π

6

]=cos（α+

π

6

）cos

π

6

+sin（α+

π

6

）sin

π

6

=

2 2

3

×

3

2

+

1

3

×

1

2

=

2 6 +1

6

．

点评：本题考查三角函数的恒等变换及其应用，考查正弦函数的最值、图象变换及两角和与差的余弦的综合应用，属于中档题．