Question

已知函数f（x）=ln（1+x²）+ax．（a≤0）．
（Ⅰ）若f（x）在x=0处取得极值，求a的值；
（Ⅱ）讨论f（x）的单调性；
（Ⅲ）证明：(1+

1

22

)(1+

1

42

)(1+

1

82

)…(1+

1

22n

)＜e(n∈N*)．

Answer 1

（Ⅰ）f′(x)=

2x

1+x2

+a，因为x=0是f（x）的一个极值点，∴f'（0）=0，∴a=0验证知a=0符合条件．------------2分
（Ⅱ）因为f′(x)=

2x

1+x2

+a=

ax2+2x+a

1+x2

1）若a=0时，∴f（x）在（0，+∞）单调递增，在（-∞，0）单调递减；
2）若

a＜0 △≤0

得，当a≤-1时，f′(x)≤0对x∈R恒成立，∴f（x）在R上单调递减；
3）若-1＜a＜0时，由f'（x）＞0得ax²+2x+a＞0∴

-1+ 1-a2

a

＜x＜

-1- 1-a2

a

∴f(x)在(

-1+ 1-a2

a

，

-1- 1-a2

a

)上单调递增，
在(-∞，

-1+ 1-a2

a

)和(

-1- 1-a2

a

，+∞)上单调递减；
综上所述，若a≤-1时，f（x）在（-∞，+∞）上单调递减，
若-1＜a＜0时，f(x)在(

-1+ 1-a2

a

，

-1- 1-a2

a

)上单调递增，(-∞，

-1+ 1-a2

a

)和(

-1- 1-a2

a

，+∞)上单调递减
若a=0时，f（x）在（0，+∞）单调递增，在（-∞，0）单调递减．---------8分
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当a=-1时，f（x）在（-∞，+∞）单调递减
当x∈（0，+∞）时，由f（x）＜f（0）=0∴ln（1+x²）＜x
∴ln[(1+

1

22

)(1+

1

42

)(1+

1

82

)…(1+

1

22n

)]=ln(1+

1

22

)+ln(1+

1

42

)+…+ln(1+

1

22n

)＜

1

2

+

1

4

+

1

8

+…+

1

2n

=

1 2 (1- 1 2n )

1- 1 2

=(1-

1

2n

)＜1
∴(1+

1

22

)(1+

1

42

)…(1+

1

22n

)＜e---------------------13分