Question

已知二次函数f（x）=ax²+bx，f（x+1）为偶函数，函数f（x）的图象与直线y=x相切．
（1）求f（x）的解析式；
（2）已知k的取值范围为[，+∞），则是否存在区间[m，n]（m＜n），使得f（x）在区间[m，n]上的值域恰好为[km，kn]？若存在，请求出区间[m，n]；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）∵f（x+1）为偶函数，
∴f（﹣x+1）=f（x+1），
即a（﹣x+1）²+b（﹣x+1）=a（x+1）²+b（x+1）恒成立，
即（2a+b）x=0恒成立，
∴2a+b=0，
∴b=﹣2a，
∴f（x）=ax²﹣2ax，
∵函数f（x）的图象与直线y=x相切，
∴二次方程ax²﹣（2a+1）x=0有两相等实数根，
∴△=（2a+1）²﹣4a×0=0，
∴a=，
即有f（x）=﹣x²+x
（2）∵f（x）=﹣（x﹣1）²+≤，
∴[km，kn]（﹣∞，]，
∴kn≤，又k≥，
∴n≤≤，
又[m，n]（﹣∞，1]，f（x）在[m，n]上是单调增函数，
∴即
即m，n为方程﹣x2+x=kx的两根，
解得=0，x₂=2﹣2k．
∵m＜n且k≥．
故当≤k＜1时，[m，n]=[0，2﹣2k]；
当k＞1时，[m，n]=[2﹣2k，0]；
  当k=1时，[m，n]不存在