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已知圆经过点A(2,-1)且与直线x-y-1=0相切,圆心在直线2x+y=0上,求此圆的方程.
【答案】分析:设圆心坐标为(a,b),由圆心在直线2x+y=0上,把设出的圆心坐标代入得到关于a与b的关系,用a表示出b,由圆经过A且与直线x-y-1=0相切,利用两点间的距离公式求出圆心到A点间的距离,即为圆的半径,同时根据直线与圆相切时,圆心到直线的距离等于圆的半径,利用点到直线的距离公式求出圆心到直线x-y-1=0的距离,等于圆的半径,又列出关于a与b的关系式,把表示出的b代入得到关于a的方程,求出方程的解得到a的值,进而求出b的值,确定出圆心坐标,把a与b代入表示出的半径,确定出半径,由圆心和半径即可得到圆的标准方程.
解答:解:设圆心坐标为(a,b),
∵圆心在直线2x+y=0上,
∴2a+b=0,即b=-2a,
又圆经过点A(2,-1)且与直线x-y-1=0相切,
=,即2(a-2)2+2(b+1)2=(a-b-1)2,①
把b=-2a代入①得:2(a-2)2+2(-2a+1)2=(3a-1)2
整理得:a2-10a+9=0,即(a-1)(a-9)=0,
解得:a=1或a=9,
此时b=-2或-18,
∴圆心坐标为(1,-2)或(9,-18),
此时圆的半径为或13
则圆的方程为(x-1)2+(y+2)2=2或(x-9)2+(y+18)2=338.
点评:此题考查了直线与圆的位置关系,涉及的知识有:两点间的距离公式,点到直线的距离公式,以及圆的标准方程,其中直线与圆相切时,圆心到直线的距离等于圆的半径,熟练运用此性质是解本题的关键.
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