Question

已知圆经过点A（2，-1）且与直线x-y-1=0相切，圆心在直线2x+y=0上，求此圆的方程．

Answer 1

分析：设圆心坐标为（a，b），由圆心在直线2x+y=0上，把设出的圆心坐标代入得到关于a与b的关系，用a表示出b，由圆经过A且与直线x-y-1=0相切，利用两点间的距离公式求出圆心到A点间的距离，即为圆的半径，同时根据直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线x-y-1=0的距离，等于圆的半径，又列出关于a与b的关系式，把表示出的b代入得到关于a的方程，求出方程的解得到a的值，进而求出b的值，确定出圆心坐标，把a与b代入表示出的半径，确定出半径，由圆心和半径即可得到圆的标准方程．

解答：解：设圆心坐标为（a，b），
∵圆心在直线2x+y=0上，
∴2a+b=0，即b=-2a，
又圆经过点A（2，-1）且与直线x-y-1=0相切，
∴

(a-2)2+(b+1)2

=

|a-b-1|

2

，即2（a-2）²+2（b+1）²=（a-b-1）²，①
把b=-2a代入①得：2（a-2）²+2（-2a+1）²=（3a-1）²，
整理得：a²-10a+9=0，即（a-1）（a-9）=0，
解得：a=1或a=9，
此时b=-2或-18，
∴圆心坐标为（1，-2）或（9，-18），
此时圆的半径为

2

或13

2

，
则圆的方程为（x-1）²+（y+2）²=2或（x-9）²+（y+18）²=338．

点评：此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：两点间的距离公式，点到直线的距离公式，以及圆的标准方程，其中直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径，熟练运用此性质是解本题的关键．