Question

如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点N在线段B₁D₁上，且D₁N=2NB₁，点M在线段A₁B上，且BM=2MA₁．求证：MN∥平面AC₁B．

Answer 1

考点：直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：过点M作ME⊥BB₁，垂足为E，连接NE，由题意得Rt△BME∽Rt△BA₁B₁，Rt△B₁NE∽Rt△B₁D₁B，从而NE∥D₁B，进而ME∥AB，由此能证明MN∥平面AC₁B．

解答： 证明：过点M作ME⊥BB₁，垂足为E，连接NE，
则由题意得Rt△BME∽Rt△BA₁B₁，
∵BM=2MA₁，∴BE=2MA₁，
∵D₁N=2NB₁，∴Rt△B₁NE∽Rt△B₁D₁B，
∴NE∥D₁B，
∵ME⊥BB₁，AB⊥BB₁，∴ME∥AB，
∵NE∩ME=E，D₁B∩AB₁=B，且NE∥D₁B、ME∥AB，
∴面MNE∥面ABC₁D₁，面ABC₁?面ABC₁D₁中，
即面MNE∥平面AC₁B，
∴MN∥平面AC₁B．

点评：本题考查直线与平面平行的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．