Question

己知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=2，当n≥2时，S_n-1+1，a_n，S_n+1成等差数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=

2×3n

Sn•Sn+1

，T_n是数列{b_n}的前n项和，求证T_n＜

1

2

．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合,数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由题意知2a_n=S_n+S_n-1+2，从而a_n+1=3a_n，由此能求出a_n=2•3^n-1．
（2）由（1）知S_n=

2(1-3n)

1-3

=3ⁿ-1，从而

1

Sn

-

1

Sn+1

=

1

3n-1

-

1

3n+1-1

=

2×3n

SnSn+1

=6n，由此利用裂项法能证明T_n＜

1

2

．

解答： （1）解：由题意知2a_n=S_n-1+1+（S_n+1），
即2a_n=S_n+S_n-1+2，①
∴2a_n+1=S_n+1+S_n+2，②
②-①，得2a_n+1-2a_n=a_n+1+a_n，
∴a_n+1=3a_n，

an+1

an

=3=q，
在①式中，令n=2，得：
2a₂=S₂+S₁+2=a₂+2a₁+2，
a₂=2a₁+2=2•2+2=6，
∴

a2

a1

=

6

2

=3=q，
a_n=2•3^n-1．
（2）证明：由（1）知S_n=

2(1-3n)

1-3

=3ⁿ-1，
∴S_n+1=3ⁿ⁺¹-1，
∴

1

Sn

-

1

Sn+1

=

1

3n-1

-

1

3n+1-1

=

2×3n

SnSn+1

=6n，
∴T_n=

1

S1

-

1

S2

+

1

S2

-

1

S3

+…+

1

Sn

-

1

Sn+1

=

1

S1

-

1

Sn+1

=

1

3-1

-

1

3n+1-1

=

1

2

-

1

3n+1-1

＜

1

2

．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查不等式的证明，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．