Question

已知△ABC的三边长分别为a，b，c，其面积为S，则△ABC的内切圆的半径r=

2S

a+b+c

．这是一道平面几何题，请用类比推理方法，猜测对空间四面体ABCD存在什么类似结论？

 

．

Answer 1

分析：根据平面与空间之间的类比推理，由点类比点或直线，由直线 类比 直线或平面，由内切圆类比内切球，由平面图形面积类比立体图形的体积，结合求三角形的面积的方法类比求四面体的体积即可．

解答：解：设四面体的内切球的球心为O，
则球心O到四个面的距离都是R，
所以四面体的体积等于以O为顶点，
分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和．
则四面体的体积为 V四面体A-BCD=

1

3

(S1+S2+S3+S4)γ
猜想：四面体ABCD的各表面面积分别为S₁，S₂，S₃，S₄，其体积为V，
则四面体ABCD的内切球半径r=

3V

S1+S2+S3+S4

故答案为：r=

3V

S1+S2+S3+S4

点评：本题主要考查类比推理．类比推理是指依据两类数学对象的相似性，将已知的一类数学对象的性质类比迁移到另一类数学对象上去．一般步骤：①找出两类事物之间的相似性或者一致性．②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（或猜想）．