Question

已知函数f（x）=2cosx（sinx+cosx）．
（Ⅰ）求f（

5π

4

）的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的最小正周期及对称轴方程；
（Ⅲ）当x∈[0，

π

2

]时，求f（x）的值域．

Answer 1

考点：三角函数的周期性及其求法,两角和与差的正弦函数

专题：三角函数的求值

分析：（Ⅰ）由条件利用三角恒等变换化简函数的解析式为f（x）=

2

sin（2x+

π

4

）+1，由此求得求f（

5π

4

）的值．
（Ⅱ）根据f（x）=

2

sin（2x+

π

4

）+1，求得函数f（x）的最小正周期；令2x+

π

4

=kπ+

π

2

，求得x的值，可得函数的图象的对称轴方程．
（Ⅲ）当x∈[0，

π

2

]时，利用正弦函数的定义域和值域，求得f（x）的值域．

解答： 解：（Ⅰ）依题意f（x）=2sinx（sinx+cosx）=2sinxcosx+2cos²x=sin2x+cons2x+1=

2

sin（2x+

π

4

）+1．
故 f（

5π

4

）=

2

sin（

5π

2

+

π

4

）=

2

cos

π

4

=1．
（Ⅱ）由函数的解析式可得周期为T=

2π

2

=π．
令2x+

π

4

=kπ+

π

2

，得x=

kπ

2

+

π

8

，k∈Z，故y=f（x）的对称轴为x=

kπ

2

+

π

8

，k∈Z．
（Ⅲ）因为x∈[0，

π

2

]，所以2x+

π

4

∈[

π

4

，

5π

4

]，∴sin（2x+

π

4

）∈[-

2

2

，1]．

点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，余弦函数的周期性，正弦函数的定义域和值域，属于基础题．