Question

18．在钝角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c且b=atanB．
（Ⅰ）求A-B的值；
（Ⅱ）求cos2B-sinA的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由b=atanB得：bcosB=asinB，再利用正弦定理即可得出．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知$cos2B-sinA=2{cos^2}B-cosB-1=2{（cosB-\frac{1}{4}）^2}-\frac{9}{8}$，利用二次函数的单调性、三角函数的单调性与值域即可得出．

解答 解：（Ⅰ）由b=atanB得：bcosB=asinB（1分）
又由正弦定理得，sinBcosB=sinAsinB，（3分）
所以cosB=sinA（4分）
又△ABC是钝角三角形，所以$A-B=\frac{π}{2}$．  （6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知$cos2B-sinA=2{cos^2}B-cosB-1=2{（cosB-\frac{1}{4}）^2}-\frac{9}{8}$（8分）
又由$A＞\frac{π}{2}$，所以$0＜B＜\frac{π}{2}，0＜C=π-（A+B）=\frac{π}{2}-2B＜\frac{π}{2}$，
所以$0＜B＜\frac{π}{4}$，$\frac{{\sqrt{2}}}{2}＜cosB＜1$（10分）
又由于函数$y=2{（x-\frac{1}{4}）^2}-\frac{9}{8}$在$（\frac{{\sqrt{2}}}{2}，1）$上单调递增，
所以cos2B-sinA的取值范围为$（-\frac{{\sqrt{2}}}{2}，0）$．（12分）

点评 本题考查了正弦定理、二次函数的单调性、三角函数的单调性与值域，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．