Question

【题目】设椭圆，点为其右焦点，过点的直线与椭圆相交于点，.

（1）当点在椭圆上运动时，求线段的中点的轨迹方程；

（2）如图1，点的坐标为，若点是点关于轴的对称点，求证：点，，共线；

（3）如图2，点是直线上的任意一点，设直线，，的斜率分别为，，，求证，，成等差数列.

Answer 1

【答案】（1）； （2）见解析； （3）见解析.

【解析】

（1）设出中点的坐标，利用点的坐标得到点的坐标，将点的坐标代入椭圆方程，化简得到点的轨迹方程.（2）当斜率存在时，设出直线的方程，代入椭圆椭圆方程化简后写出韦达定理，计算，由此证得点，，共线. 当斜率不存在时，由椭圆对称性,易得结论成立.（3）设出的坐标，利用（2）的结果化简的表达式，化简得到结果为，由此证得，，成等差数列.

（1），设，则，在椭圆上，所以所求轨迹方程为.

（2）当斜率存在时，设其方程为：，，

将代入椭圆方程并化简得

其中，

所以，点，，共线，

而当斜率不存在时，由椭圆对称性，，重合，结论显然成立，综上点，，共线；

（3）设，

由（2）知，

故，，成等差数列.