Question

【题目】如图，在三棱锥中，已知是正三角形，平面平面，，为的中点，在棱上，且.

（1）求证：平面；

（2）若为的中点，问上是否存在一点，使平面？若存在，说明点的位置；若不存在，试说明理由.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）存在，.

【解析】

（1）取中点，由三角形中位线和已知长度关系可知且为中点，三线合一得到；由面面垂直性质可得平面，由线面垂直性质知；由线面垂直的判定定理可证得结论；

（2）假设存在满足题意的点，由线面平行的性质可知；根据重心的性质可得到比例关系，即，从而可说明存在点.

（1）取中点，连接

分别为中点

又，

，即为中点

为等边三角形，为中点

平面平面，平面平面 平面

平面

平面， 平面

（2）假设上存在点，使得平面

连接，交于点，连接

平面，平面，平面平面

为等边的两条中线 为的重心

，即

存在点，满足时，平面