Question

【题目】已知、为椭圆： （）的左、右焦点，点为椭圆上一点，且．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若圆是以为直径的圆，直线： 与圆相切，并与椭圆交于不同的两点、，且，求的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）．

【解析】试题分析：（1）根据椭圆定义得，再代入点P坐标得（2）由直线与圆相切得，由，利用向量数量积得，联立直线方程与椭圆方程，结合韦达定理代入化简得的值．

试题解析：（1）由题意得： 解得

则椭圆方程为．

（2）由直线与圆相切，得， ，

设， ，

由消去，整理得，

恒成立，

所以， ，

，

∵， ，

解得．

点睛: 直线和圆锥曲线的位置关系，一般转化为直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组，利用韦达定理或求根公式进行转化，涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数关系，设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解.涉及中点弦问题往往利用点差法.