Question

10．求经过圆x²+y²=58与直线6x+8y-3=0的交点，且分别满足下列条件的圆的方程：
（1）面积最小的圆；
（2）圆被直线x+y-1=0截得的弦长为3$\sqrt{22}$．

Answer 1

分析 （1）设圆的方程为x²+y²+λ（6x+8y-3）-58=0，圆心为（-3λ，-4λ），确定圆的半径，利用配方法，即可求出面积最小的圆；
（2）利用圆被直线x+y-1=0截得的弦长为3$\sqrt{22}$，根据勾股定理，建立方程，即可得出结论．．

解答 解：（1）设圆的方程为x²+y²+λ（6x+8y-3）-58=0，圆心为（-3λ，-4λ），
半径为$\sqrt{25{λ}^{2}+3λ+58}$=$\sqrt{25（λ+\frac{3}{50}）^{2}+58-\frac{9}{100}}$，
∴λ=-$\frac{3}{50}$时，圆的面积最小，圆的方程为x²+y²-$\frac{9}{25}$x-$\frac{12}{25}$y-$\frac{2891}{50}$=0；
（2）圆心为（-3λ，-4λ），到直线x+y-1=0的距离d=$\frac{|-7λ-1|}{\sqrt{2}}$，
∵圆被直线x+y-1=0截得的弦长为3$\sqrt{22}$．
∴（$\sqrt{25{λ}^{2}+3λ+58}$）²=（$\frac{3\sqrt{22}}{2}$）²+（$\frac{|-7λ-1|}{\sqrt{2}}$）²，
∴λ=18±9$\sqrt{3}$，
∴圆的方程为x²+y²+（108-54$\sqrt{3}$）x+（44-72$\sqrt{3}$）y+27$\sqrt{3}$-122=0或x²+y²+（108+54$\sqrt{3}$）x+（44+72$\sqrt{3}$）y-27$\sqrt{3}$-122=0．

点评 本题考查圆的方程，考查圆系方程的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．