【题目】已知函数.
(1)讨论函数f(x)的单调性;
(2)若函数g(x)=f(x)﹣lnx有2个不同的极值点x1,x2(x1<x2),求证:.
【答案】(1)见解析;(2)见解析
【解析】
(1)求导得到,讨论四种情况得到单调性.
(2)g(x)=alnxx﹣1,,得到x1+x2=a,x1x2=a,f(x1)+f(x2)﹣2x1x2=alna+lna﹣2a﹣2,设g(a)=alna+lna﹣2a﹣2,(a>4),根据函数的单调性得到答案.
(1),x>0,
(i)若a=1,0恒成立,故f(x)在(0,+∞)单调递减,
(ii)当a>1时,x∈(0,1)时,f′(x)<0,函数单调递减,当x∈(1,a),f′(x)>0,函数单调递增,当x∈(a,+∞),f′(x)<0,函数单调递减,
(iii)0<a<1时,x∈(0,a)时,f′(x)<0,函数单调递减,当x∈(a,1),f′(x)>0,函数单调递增,当x∈(1,+∞),f′(x)<0,函数单调递减,
(iv)当a≤0时,x∈(0,1)时,f′(x)>0,函数单调递增,当x∈(1,+∞),f′(x)<0,函数单调递减.
(2)g(x)=f(x)﹣lnx=alnxx﹣1,,
由题意可得,x2﹣ax+a=0与2个不同的根x1,x2(x1<x2),
则x1+x2=a>0,x1x2=a,△=a2﹣4a>0,所以a>4,
∴f(x1)+f(x2)﹣2x1x2=a(lnx1+lnx2)+a()+(lnx1+lnx2)﹣(x1+x2)﹣2﹣2x1x2=alna+lna﹣2a﹣2,
令g(a)=alna+lna﹣2a﹣2,(a>4),
则2=lna1>0,即g(a)在(4,+∞)上单调递增,
所以g(a)>g(4)=5ln4﹣10=5(ln4﹣2)=5(ln4﹣lne2)=5.得证.
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【题目】已知椭圆的离心率为,且四个顶点构成的四边形的面积是.
(1)求椭圆的方程;
(2)已知直线经过点,且不垂直于轴,直线与椭圆交于,两点,为的中点,直线与椭圆交于,两点(是坐标原点),求四边形的面积的最小值.
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【题目】2020年1月底因新型冠状病毒感染的肺炎疫情形势严峻,避免外出是减少相互交叉感染最有效的方式.在家中适当锻炼,合理休息,能够提高自身免疫力,抵抗该种病毒.某小区为了调查“宅”家居民的运动情况,从该小区随机抽取了100位成年人,记录了他们某天的锻炼时间,其频率分布直方图如下:
(1)求a的值,并估计这100位居民锻炼时间的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值代表);
(2)小张是该小区的一位居民,他记录了自己“宅”家7天的锻炼时长:
序号n | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
锻炼时长m(单位:分钟) | 10 | 15 | 12 | 20 | 30 | 25 | 35 |
(Ⅰ)根据数据求m关于n的线性回归方程;
(Ⅱ)若(是(1)中的平均值),则当天被称为“有效运动日”.估计小张“宅”家第8天是否是“有效运动日”?
附;在线性回归方程中,,.
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【题目】设椭圆长轴长为4,右焦点到左顶点的距离为3.
(1)求椭圆的方程;
(2)设过原点的直线交椭圆于两点(不在坐标轴上),连接并延长交椭圆于点,若,求四边形面积的最大值.
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【题目】某总公司在A,B两地分别有甲、乙两个下属公司同时生产某种新能源产品(这两个公司每天都固定生产50件产品),所生产的产品均在本地销售.产品进入市场之前需要对产品进行性能检测,得分低于80分的定为次品,需要返厂再加工;得分不低于80分的定为正品,可以进入市场.检测员统计了甲、乙两个下属公司100天的生产情况及每件产品盈利亏损情况,数据如下表所示:
表1:
甲公司 | 得分 | |||||
件数 | 10 | 10 | 40 | 40 | 50 | |
天数 | 10 | 10 | 10 | 10 | 80 |
表2:
乙公司 | 得分 | |||||
件数 | 10 | 5 | 40 | 45 | 50 | |
天数 | 20 | 10 | 20 | 10 | 70 |
表3:
每件正品 | 每件次品 | |
甲公司 | 盈2万元 | 亏3万元 |
乙公司 | 盈3万元 | 亏3.5万元 |
(1)分别求甲、乙两个公司这100天生产的产品的正品率(用百分数表示);
(2)试问甲乙两个公司这100天生产的产品的总利润哪个更大?说明理由.
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【题目】如图,矩形中,为的中点,将沿直线翻折成,连结,为的中点,则在翻折过程中,下列说法中所有正确的序号是_______.
①存在某个位置,使得;
②翻折过程中,的长是定值;
③若,则;
④若,当三棱锥的体积最大时,三棱锥的外接球的表面积是.
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【题目】年初,湖北出现由新型冠状病毒引发的肺炎.为防止病毒蔓延,各级政府相继启动重大突发公共卫生事件一级响应,全国人心抗击疫情.下图表示月日至月日我国新型冠状病毒肺炎单日新增治愈和新增确诊病例数,则下列中表述错误的是( )
A.月下旬新增确诊人数呈波动下降趋势
B.随着全国医疗救治力度逐渐加大,月下旬单日治愈人数超过确诊人数
C.月日至月日新增确诊人数波动最大
D.我国新型冠状病毒肺炎累计确诊人数在月日左右达到峰值
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