Question

【题目】设椭圆长轴长为4，右焦点到左顶点的距离为3．

（1）求椭圆的方程；

（2）设过原点的直线交椭圆于两点（不在坐标轴上），连接并延长交椭圆于点，若，求四边形面积的最大值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）根据题意，列出的方程组，求解即可求得结果；

（2）设出直线方程，联立椭圆方程，结合韦达定理，用参数表示的面积；根据向量关系，求得，再利用对勾函数单调性求面积关于参数的函数的最大值即可.

（1）由题意可得，

所以椭圆方程为．

（2）由（1）知，

设直线的方程为，

联立得．

设，，

则，．

因为，

故可得四边形为平行四边形，则，

又，

故．

设，，

则，

令，故可得，

当时，恒成立，故在单调递增，

故在上单调递减，

所以当，即时，

四边形的面积取得最大值．