Question

【题目】平行四边形ABCD中，∠A，2AB＝BC，E，F分别是BC，AD的中点.将四边形DCEF沿着EF折起，使得平面ABEF⊥平面DCEF，得到三棱柱AFD﹣BEC.

（1）证明：DB⊥EF；

（2）若AB＝2，求三棱柱AFD﹣BEC的体积.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）3

【解析】

（1）取EF的中点O，连接OD，OB，ED，FB，可得△BEF，△DEF是等边三角形.可得OD⊥EF，OB⊥EF，由直线与平面垂直的判定可得EF⊥平面BOD，进一步得到DB⊥EF；

（2）三棱柱AFD﹣BEC可分为四棱锥D﹣ABEF与三棱锥B﹣CDE.由（1）知OD⊥EF，结合面面垂直的性质可得OD⊥平面ABEF，同理可证OB⊥平面DCEF，分别求出两个棱锥的体积，作和得答案.

（1）证明：取EF的中点O，连接OD，OB，ED，FB，

可得△BEF，△DEF是等边三角形.

∴OD⊥EF，OB⊥EF，

∵OD∩OB＝O，∴EF⊥平面BOD，

而BD平面BOD，

∴DB⊥EF；

（2）解：三棱柱AFD﹣BEC可分为四棱锥D﹣ABEF与三棱锥B﹣CDE.

由（1）知OD⊥EF，而平面ABEF⊥平面DCEF，且交线为EF，

∴OD⊥平面ABEF.

同理可证OB⊥平面DCEF.

四棱锥D﹣ABEF的体积，

三棱锥B﹣CDE的体积，

∴三棱柱AFD﹣BEC的体积V＝2+1＝3.