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    【题目】在四棱锥中，是等边三角形，点在棱上，平面平面.

    （1）求证：平面平面；

    （2）若，求直线与平面所成角的正弦值的最大值.

    【答案】（1）证明见解析；（2）

    【解析】

    (1) 取中点为，连接，首先证明平面，然后证明平面即可

    (2)建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用向量数量积求得线面角，最后根据二次函数性质求最值.

    (1)证明：取中点为，连接.

    因为是等边三角形，所以.

    因为平面平面且相交于，所以平面，所以.

    因为，所以.

    因为，所以平面.

    因为平面，所以平面平面.

    （2）以为原点，过作的平行线，分别以，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系.

    设，则，，，.

    因为在棱上，可设，

    所以.

    设平面的法向量为，因为，

    所以令，可得，即.

    设直线与平面所成角为，

    所以.

    所以可得当时，取最大值；

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    （2）根据（1）中列联表数据，能否在犯错误的概率不超过的前提下认为新冠肺炎重症与吸烟有关？

    （3）已知每例重症患者平均治疗费用约为万元，每例轻症患者平均治疗费用约为万元.根据（1）中列联表数据，分别求吸烟患者和非吸烟患者的平均治疗费用.（结果保留两位小数）

    附：

    ≥

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    喜欢国学

    不喜欢国学

    合计

    男生

    20

    50

    女生

    10

    合计

    100

    （1）请将上述列联表补充完整，并判断能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为喜欢国学与性别有关系？

    （2）针对问卷调查的100名学生，学校决定从喜欢国学的人中按分层抽样的方法随机抽取6人成立国学宣传组，并在这6人中任选2人作为宣传组的组长，设这两人中女生人数为，求的分布列和数学期望．

    参考数据：

    0.15

    0.10

    0.05

    0.025

    0.010

    0.005

    0.001

    2.072

    2.706

    3.841

    5.024

    6.635

    7.879

    10.828

    ，．

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    （1）求证：平面；

    （2）若，求点到平面的距离．

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