【题目】已知函数,若在处的切线为.
(Ⅰ)求实数,的值;
(Ⅱ)若不等式对任意恒成立,求的取值范围;
(Ⅲ)设其中,证明:
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ);(Ⅲ)证明见解析
【解析】
(Ⅰ)求出,,建立方程,求解即可得到结论;
(Ⅱ)结合(Ⅰ)中的结论,将问题转化为对任意恒成立,令
,而是偶函数,只需时,恒成立,注意,只需在单调递增即可,若存在单调递减,则不恒成立,转化为研究在单调性,即可求解;
(Ⅲ)由,利用(Ⅱ)的结论,可得,.进而得到
,将分别用,代入得到个不等式,相加即可证明结论.
(Ⅰ)由,得;
由,得.
根据题意可得,解得;
(Ⅱ)解法一:由不等式对任意恒成立知恒成立,令,
显然为偶函数,故当时,恒成立.
,令,
,令,
显然为上的增函数,故,
即在上单调递增,.
①当,即时,,
则有在上单调递增,故,
则在上单调递增,故,符合题意;
②当,即时,因为,
故存在,使得,
故在上单调递减,在上单调递增,
当时,,
故在上单谓递减,故与矛盾.
综上,.
解法二:由不等式对任意恒成立,
知恒成立,当时,不等式成立;
当时,,令,
由于为偶函数,故只需考虑的情况即可.
当时,.
令,,
令,,
当时,,故在上单调递增,
故.
因此当时,,故在上单调递增,
即有,故,
所以在上单调递增,由洛必达法则有,故.
(Ⅲ)解法一:
,
由(Ⅱ),当且仅当时,等号成立;,当且仅当时,等号成立.故,当且仅当时等号成立.
因此有,
,
以上个式子相加得
.
解法二:由(Ⅱ)知,
当且仅当时等号同时成立.
故,
,
以上个式子相加得
.
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【题目】平行四边形ABCD中,∠A,2AB=BC,E,F分别是BC,AD的中点.将四边形DCEF沿着EF折起,使得平面ABEF⊥平面DCEF,得到三棱柱AFD﹣BEC.
(1)证明:DB⊥EF;
(2)若AB=2,求三棱柱AFD﹣BEC的体积.
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【题目】已知椭圆的焦距为4.且过点.
(1)求椭圆E的方程;
(2)设,,,过B点且斜率为的直线l交椭圆E于另一点M,交x轴于点Q,直线AM与直线相交于点P.证明:(O为坐标原点).
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【题目】在极坐标系中,曲线的极坐标方程为,直线的极坐标方程为,设与交于、两点,中点为,的垂直平分线交于、.以为坐标原点,极轴为轴的正半轴建立直角坐标系.
(1)求的直角坐标方程与点的直角坐标;
(2)求证:.
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【题目】某商场经销某商品,根据以往资料统计,顾客采用的付款期数的分布列为
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | |
P | 0.4 | 0.2 | 0.2 | 0.1 | 0.1 |
商场经销一件该商品,采用1期付款,其利润为200元;分2期或3期付款,其利润为250元;分4期或5期付款,其利润为300元,X表示经销一件该商品的利润.
(1)求事件A:“购买该商品的3位顾客中,至少有1位采用1期付款”的概率;
(2)求X的分布列及期望.
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【题目】设,分别是椭圆的左,右焦点,两点分别是椭圆的上,下顶点,是等腰直角三角形,延长交椭圆于点,且的周长为.
(1)求椭圆的方程;
(2)设点是椭圆上异于的动点,直线与直分别相交于两点,点,求证:的外接圆恒过原点.
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