Question

【题目】如图，在多面体中，正方形与梯形所在平面互相垂直，已知，，.

(1)求证：平面；

(2)求平面与平面所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）

【解析】

（1）由正方形的性质及平面平面可得平面,即,取的中点,连接,可证得,即可求证；

（2）以为原点,以所在直线为轴,轴,轴,建立空间直角坐标系,由（1）可得为平面的一个法向量,再求得平面的一个法向量,进而利用余弦定理求解即可.

（1）证明:正方形,,

又平面平面,平面平面,平面,

平面,

平面,,

取的中点,连接,易得四边形为正方形,,

则,即,

又,则平面.

（2）且,,

又平面,易知两两垂直,

以为原点,以所在直线为轴,轴,轴,建立空间直角坐标系,如图所示,

易得,则,,

由（1）得为平面的一个法向量,

令为平面的一个法向量,则,得,

不妨令,则,故,

令所求二面角为,则,

则