Question

【题目】已知椭圆的离心率为，且四个顶点构成的四边形的面积是．

（1）求椭圆的方程；

（2）已知直线经过点，且不垂直于轴，直线与椭圆交于，两点，为的中点，直线与椭圆交于，两点（是坐标原点），求四边形的面积的最小值．

Answer 1

【答案】（1）（2）8

【解析】

（1）由离心率可知，由四边形的面积可知，再结合椭圆中，从而可求，，进而可得椭圆的标准方程.

（2）设直线的方程为，，，将直线与椭圆联立，由韦达定理可得，从而可求出直线的方程为，与椭圆方程联立，可求出，设点到直线的距离为，则可知

，通过整理可求出，即可得，由，即可求出面积的最小值.

解：（1）由题意可得，解得，，

故椭圆的方程为．

（2）由不垂直于 轴，设直线的方程为，，．

联立，整理得，则，，

从而，故．

则直线的斜率为，所以直线的方程为，即．

联立，整理得，则．

设点到直线的距离为，则点到直线的距离也为，

从而．

因为点，在直线的两侧，所以，

所以，则．

因为，所以，

则四边形的面积．

因为（当且仅当时，等号成立），

所以，即四边形的面积的最小值是8．