Question

【题目】已知椭圆：，圆：，一动圆在轴右侧与轴相切，同时与圆相外切，此动圆的圆心轨迹为曲线，椭圆与曲线有相同的焦点.

（1）求曲线的方程；

（2）设曲线与椭圆相交于第一象限点，且，求椭圆的标准方程；

（3）在（2）的条件下，如果椭圆的左顶点为，过且垂直于轴的直线与椭圆交于，两点，直线，与直线：分别交于，两点，证明：四边形的对角线的交点是椭圆的右顶点.

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）见解析

【解析】

（1）设动圆圆心的坐标为，，计算化简得到答案.

（2）计算，则，得到答案.

（3）计算，，，直线的方程为，令，得，得到答案.

（1）设动圆圆心的坐标为，因为动圆在轴右侧与轴相切，同时与圆相外切，所以，所以，化简整理得，

曲线的方程为.

（2）依题意，，，可得，故点坐标为，

椭圆的另一焦点为，

由两点间的距离可得，

又由椭圆的定义得，.

所以，所以椭圆的标准方程为.

（3）由（2）知，，直线的方程为，

根据椭圆的对称性，当直线轴时，四边形是等腰梯形，对角线的交点在轴上，此时直线的方程为，

由，，不妨取，，

故直线的方程为，将代入得，

所以直线的方程为，令，得，

即直线与轴的交点为，此时恰好为椭圆的右顶点.