Question

【题目】如图，在棱长为12的正方体中，已知E，F分别为棱AB，的中点，若过点，E，F的平面截正方体所得的截面为一个多边形，则该多边形的周长为________，该多边形与平面，ABCD的交线所成角的余弦值为________．

Answer 1

【答案】

【解析】

延长DC，与的延长线交于点G，连接EG，交BC于点H，延长GE，与DA的延长线交于点M，连接，交于点N．连接NE，FH，作出截面多边形，由此易求该截面多边形的周长；多边形与平面，ABCD的交线分别为与，由面面平行的性质定理得∥，则为多边形与平面，ABCD的交线所成的角或其补角，利用余弦定理计算即可.

如图，延长DC，与的延长线交于点G，连接EG，交BC于点H，延长GE，与DA的

延长线交于点M，连接，交于点N．连接NE，FH，

因为正方体的棱长为12，

所以．

因为∥，

所以，

所以，

所以，

同理可得，

所以，

所以，，

所以，．

易知，所以，

又，解得，

所以，，

则该多边形的周长为．

由面面平行的性质定理得∥，

则为多边形与平面，ABCD的交线所成的角或其补角．

因为，所以，

所以该多边形与平面，ABCD的交线所成角的余弦值为．

故答案为：；