Question

【题目】如图，四棱锥中，底面四边形是直角梯形，底面，，，，，为的中点.

（1）求证：平面；

（2）若直线与平面所成角的正弦值为，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析，（2）.

【解析】

（1）首先利用条件证明，然后结合即可证明平面

（2）由平面可得是直线与平面所成的角，然后算出，然后以点为原点，分别以的方向为轴轴轴的正方向建立空间直角坐标系，算出平面的法向量即可.

（1）证明：因为，，所以.

又因为，所以是等腰直角三角形，

所以，.

又因为，，

所以，即.

因为底面，平面，所以.

又，所以平面.

（2）在中， ，，所以.

由（1）知，平面，

所以是直线与平面所成的角，则.

在中， ，

所以.

以点为原点，分别以的方向为轴轴轴的正方向建立空间直角坐标系.

则.

因为为的中点，所以，

所以.

设平面法向量为，

则 即

令，得.所以.

由平面，则为平面的一个法向量.

所以.

故所求二面角的余弦值为.