Question

【题目】已知椭圆：的离心率为，左右顶点分别为，，右焦点为，为椭圆上异于，的动点，且面积的最大值为.

（1）求椭圆的方程；

（2）设直线与轴交于点，过点作的平行线交轴与点，试探究是否存在定点，使得以为直径的圆恒过定点.

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在.

【解析】

（1）由当在轴时，面积最大，得，然后结合求解即可；

（2）先设，求出点，的坐标，然后求出以为直径的圆的方程，再结合在椭圆上，代入方程整理得圆的方程为，然后令，求解即可.

解：（1）由题意知，当在轴时，面积最大，

所以①，

又②，

联立①②，得，，，

所以椭圆的方程为.

（2）设，其中，则，，

所以直线的方程为，

令，得，即，

又，所以直线的方程为，

令，得，即，

所以，以为直径的圆的方程为：

，

又，

且在椭圆上，

所以，

代入方程整理得圆的方程为

，

令，

则，

所以存在点，使得以为直径的圆恒过点.