Question

如图，已知平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面ABCD是菱形，且∠C₁CB=∠C₁CD=∠BCD=60°．
（1）证明：C₁C⊥BD；
（2）假定CD=2，CC₁=

3

2

，记面C₁BD为α，面CBD为β，求二面角α-BD-β的平面角的余弦值；
（3）当

CD

CC1

的值为多少时，能使A₁C⊥平面C₁BD？请给出证明．

Answer 1

分析：（1）要证线线垂直，只要证线面垂直，由线面垂直的判定定理，只要找到一条直线垂直于两条相交直线即可，由题意易得，∴△C₁BD为等腰三角形，故AC和BD交于O，则C₁O⊥BD，又AC⊥BD，命题可证．
（2）由（1）知∠C₁OC是二面角α-BD-β的平面角，由余弦定理解△C₁OC即可．
（3）可先猜测

CD

CC1

的值，然后证明A₁C⊥平面C₁BD．只要证A₁C⊥平面C₁BD内的两条相交直线即可，易得BD⊥平面AC₁，BD⊥A₁C．同理再证BC₁⊥A₁C即可．

解答：解：（1）证明：如图：
连接AC、设AC和BD交于O，连接C₁O
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，BD=CD．
又∵∠BCC₁=∠DCC₁，C₁C=C₁C，
∴△C₁BC≌△C₁DC
∴C₁B=C₁D，
∵DO=OB
∴C₁O⊥BD，
但AC⊥BD，AC∩C₁O=O，
∴BD⊥平面AC₁C，
又C₁C?平面AC₁C
∴C₁C⊥BD．
（2）解：由（1）知AC⊥BD，C₁O⊥BD，
∴∠C₁OC是二面角α-BD-β的平面角．
在△C₁BC中，BC=2，C₁C=

3

2

，∠BCC₁=60°，
∴C₁B²=2²+（

3

2

）²-2×2×

3

2

×cos60°=

13

4

∵∠OCB=30°，
∴OB=

1

2

BC=1．
∴C₁O²=C₁B²-OB²=

13

4

-1=

9

4

，
∴C₁O=

3

2

即C₁O=C₁C．
作C₁H⊥OC，垂足为H．
∴点H是OC的中点，且OH=

3

2

，
所以cos∠C₁OC=

OH

C1O

=

3

3

．
（3）如图：
当

CD

CC1

=1时，能使A₁C⊥平面C₁BD
由（1）知，BD⊥平面AC₁C，
∵A₁C?平面AC₁C，∴BD⊥A₁C
当

CD

CC1

=1时，平行六面体的六个面是全等的菱形，
同BD⊥A₁C的证法可得BC₁⊥A₁C，
又BD∩BC₁=B，
∴A₁C⊥平面C₁BD．

点评：本小题主要考查直线与直线、直线与平面的关系，逻辑推理能力．