Question

已知函数h（x）=x²+px+q在（n，n+1）（n∈Z）有两个不同零点，令A=max{h（n），h（n+1）}，B=min{h（n），h（n+1）}，（其中max表示两个数中较大的，而min表示两个数中较小的），则（　　）

• A、B＜

  1

  4

  ，A＞1
• B、B＞

  1

  4

  ，A＜1
• C、B＜

  1

  4

  ，A＞

  1

  2

• D、B＞

  1

  4

  ，A＜

  1

  2

Answer 1

考点：二次函数的性质,函数零点的判定定理

专题：函数的性质及应用

分析：函数h（x）=x²+px+q在（n，n+1）（n∈Z）有两个不同零点，等价于方程有两根，设两根为α，β由题意可得，h（n）＞0，h（n+1）＞0，由方程的根与系数关系可得-p=α+β，q=αβ，先寻求h（n）=h（n+1）时的条件，然后再由h（n）的表达式求得B=min{h（n），h（n+1）}解范围，再根据h（x）=x²+px+q=（x-α）（x-β），进而由max{h（n），h（n+1）}≤

h(n)h(n+1)

和基本不等式可得A范围，继而求出答案．

解答： 解：函数h（x）=x²+px+q在（n，n+1）（n∈Z）有两个不同零点，等价于方程有两根，设两根为α，β，
由题意可得，h（n）＞0，h（n+1）＞0，
由方程的根与系数关系可得-p=α+β，q=αβ．
当h（n）=h（n+1）时，
n²+pn+q=（n+1）²+p（n+1）+q，
即2n+1+p=0，
∴-p=2n+1，
∴α+β=-p=2n+1，
∴n=

1

2

（α+β-1）
∵h（n）=n²+pn+q=n²-（2n+1）n+q=-n²-n+q=-n（n+1）+q=-

1

4

（α+β-1）（α+β+1）+αβ 
=

1-(α-β)2

4

＜

1

4

，
∴min{h（n），h（n+1）}的取值范围是（0，

1

4

）．
∴h（x）=x²+px+q=（x-α）（x-β）
∴h（n）=（n-α）（n-β），h（n+1）=（n+1-α）（n+1-β），
∴max{h（n），h（n+1）}≤

h(n)h(n+1)

=

(n-α)(n-β)(n+1-α)(n+1-β)

≤

(2n-α-β+α+β-2n-2)2 256

=

1

8

＜1
又由两个等号不能同时成立
故max{h（n），h（n+1）}＜1．
故选：B．

点评：本题主要考查了二次函数性质的应用，基本不等式的应用，属于难题．