Question

18．如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分别是CD、A₁D₁中点．
（1）求证：AE⊥BF；
（2）求证：平面A₁BF⊥平面AB₁E；
（3）棱CC₁上是否存在点P使AP⊥BF？若存在，确定点P位置；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）取AD中点G，连接FG、BG，通过证明⊥平面BFG，证明AE⊥BF；
（2）连A₁B，证明线线垂直，从而证明BF⊥平面AB₁E，即可证明平面A₁BF⊥平面AB₁E；
（3）存在，取CC₁中点P，连接EP、C₁D，说明AP?平面AB₁E，利用BF⊥平面AB₁E，推出AP⊥BF．

解答 （1）证明：取AD中点G，连接FG、BG，则FG⊥AE，
又∵△BAG≌△ADE，∴∠ABG=∠DAE，
∴AE⊥BG，又∵BG∩FG=G，
∴AE⊥平面BFG，
∴AE⊥BF；
（2）证明：连A₁B，则AB₁⊥A₁B，
又AB₁⊥A₁F，A₁B∩A₁F=A₁，
∴AB₁⊥平面A₁BF，
∴AB₁⊥BF，
又AE∩AB₁=A，AE⊥BF；
∴BF⊥平面AB₁E，
∵BF?平面A₁BF，
∴平面A₁BF⊥平面AB₁E；
（3）解：存在，取CC₁中点P，即为所求，
连接EP、C₁D
∵EP∥C₁D，C₁D∥AB₁，
∴EP∥AB₁，∴AP?平面AB₁E，
由（2）知BF⊥平面AB₁E，
∴AP⊥BF．

点评 本题考查空间线面、线线垂直的判定及互相转化，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．