Question

设等差数列：2，a+2，3a，…的前n项和为S_n，则

1

S1

+

1

S2

+…+

1

S100

的值是

100

101

．

Answer 1

分析：利用等差数列的中项公式列出关于a的等式，求出首项a，利用等差数列的前n项和公式求出S_n=n（n+1）得到

1

Sn

，将其裂成两项的差，利用裂项求和的方法求出和．

解答：解：∵等差数列前三项为2，a+2，3a，
∴2×（a+2）=2+3a，
∴a=2，
公差d=4-2=2
所以等差数列2，4，6，…的前n项和S_n=

n(2+2n)

2

，即S_n=n（n+1）
于是

1

Sn

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
则

1

S1

+

1

S2

+…+

1

S100

=（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+（

1

3

-

1

4

）+…+（

1

100

-

1

101

）=1-

1

101

=

100

101

故答案为：

100

101

．

点评：求数列的前n项和，应该先求出数列的通项，根据通项的特点选择合适的求和方法．常用的求和方法有：公式法、错位相减法、裂项相消法、倒序相加法、分组法．