Question

已知数列a_n的各项为正数，前n和为S_n，且Sn=

an(an+1)

2

，n∈N×．
（1）求证：数列a_n是等差数列；
（2）设bn=

1

2Sn

，Tn=b1+b2+…+bn，求T_n．

Answer 1

分析：（1）先根据a₁=S1=

a1(a1+1)

2

求出a₁的值，再由2a_n=2（S_n-S_n-1）可得Sn=

an(an+1)

2

，将其代入整理可得到（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-1）=0，再由a_n+a_n-1＞0可得到a_n-a_n-1=1，从而可证明{a_n}是等差数列．
（2）先根据（1）中的{a_n}是等差数列求出其前n项和Sn，进而可表示出数列b_n的通项公式，最后根据数列求和的裂项法进行求解即可．

解答：解：（1）Sn=

an(an+1)

2

，n∈N×，n=1时，
S1=

a1(a1+1)

2

，∴a1=1

2Sn= a 2 n +an 2Sn-1= a 2 n-1 +an-1

?2an=2(Sn-Sn-1)=

a

2 n

-

a

2 n-1

+an-an-1
所以（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-1）=0，
∵a_n+a_n-1＞0
∴a_n-a_n-1=1，n≥2，
所以数列{a_n}是等差数列
（2）由（1）an=n，Sn=

n(n+1)

2

，所以bn=

1

2Sn

=

1

n(n+1)

∴Tn=b1+b2++bn=

1

1•2

+

1

2•3

++

1

n(n+1)

=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

++

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

=

n

n+1

点评：本题主要考查求数列的通项公式和前n项和．对于数列的求和的方法--公式法、裂项法、分组法、错位相减法等腰熟练掌握，这是高考的重点．