Question

已知数列a_n的各项为正数，前n和为S_n，且．
（1）求证：数列a_n是等差数列；
（2）设，求T_n．

Answer 1

解：（1），n=1时，
，∴

所以（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-1）=0，
∵a_n+a_n-1＞0
∴a_n-a_n-1=1，n≥2，
所以数列{a_n}是等差数列
（2）由（1），所以
∴
=
分析：（1）先根据a₁=求出a₁的值，再由2a_n=2（S_n-S_n-1）可得，将其代入整理可得到（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-1）=0，再由a_n+a_n-1＞0可得到a_n-a_n-1=1，从而可证明{a_n}是等差数列．
（2）先根据（1）中的{a_n}是等差数列求出其前n项和Sn，进而可表示出数列b_n的通项公式，最后根据数列求和的裂项法进行求解即可．
点评：本题主要考查求数列的通项公式和前n项和．对于数列的求和的方法--公式法、裂项法、分组法、错位相减法等腰熟练掌握，这是高考的重点．