Question

3．已知函数f（x）=log_a$\frac{x-2}{x+2}$（a＞0且a≠1）．
（1）求函数的定义域；
（2）判断函数的奇偶性；
（3）是否存在实数a，使得f（x）的定义域为[m，n]时，值域为[log_an+1，log_am+1]？若存在．求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）要使函数有意义，必须要求真数 $\frac{x-2}{x+2}$＞0即可；
（2）先看定义域是否关于原点对称，然后在定义域内判断等式f（-x）=-f（x）是否成立；
（3）先假设存在这样的实数a，则使得f（x）的定义域为[m，n]时，值域为[1+log_an，1+log_am]?函数f（x）在区间[m，n]（m＞2）上单调递减，且0＜a＜1．
?关于x的方程ax²+（2a-1）x+2=0在（2，+∞）上有两个不相等的实数解，得到不等式组，解出即可．

解答 解：（1）∵$\frac{x-2}{x+2}$＞0，∴（x+2）（x-2）＞0，解得x＞2，或x＜-2．
∴函数f（x）的定义域是{x|x＜-2，或x＞2}．
（2）∵f（-x）=loga $\frac{-x-2}{-x+2}$=loga $\frac{x+2}{x-2}$=-loga$\frac{x-2}{x+2}$=-f（x）．
及由（1）可知：函数f（x）的定义域关于原点对称．
∴函数f（x）是奇函数．
（3）假设存在这样的实数a，则由m＜n，log_am及loga$\frac{m-2}{m+2}$有意义，
可知2＜m＜n．
由∵1+log_an＜1+log_am，∴log_an＜log_am，
∴0＜a＜1．
令t=$\frac{x-2}{x+2}$，则t=1-$\frac{4}{x+2}$在区间[m，n]（m＞2）上单调递增，
∴函数f（x）在区间[m，n]上单调递减．
∴$\left\{\begin{array}{l}{f（m）{=log}_{a}^{\frac{m-2}{m+2}}=1{+log}_{a}^{m}}\\{f（n）{=log}_{a}^{\frac{n-2}{n+2}}=1{+log}_{a}^{n}}\end{array}\right.$，
∴m，n是方程loga$\frac{x-2}{x+2}$=1+logax的两个大于2的根．方程可化为$\frac{x-2}{x+2}$=ax，即ax²+（2a-1）x+2=0．
上述问题?关于x的方程ax²+（2a-1）x+2=0在（2，+∞）上有两个不相等的实数解．
令g（x）=ax²+（2a-1）x+2，
则有 $\left\{\begin{array}{l}{△{=（2a-1）}^{2}-8a＞0}\\{g（2）=8a＞0}\\{-\frac{2a-1}{2a}＞2}\end{array}\right.$，解得0＜a＜$\frac{3-2\sqrt{2}}{2}$．
又0＜a＜1，
∴0＜a＜$\frac{3-2\sqrt{2}}{2}$．
故存在这样的实数a，且a的取值范围为（0，$\frac{3-2\sqrt{2}}{2}$）．

点评 正确理解对数函数类型的自变量必须使真数大于0，掌握判断函数的奇偶性的方法，及利用函数的单调性把要解决的问题转化为二次函数有两个大于某个正数的两个零点的问题是解决问题的关键．