Question

18．已知函数f（x）=-cos²x-sinx+1．
（1）求函数f（x）的最大值；
（2）已知$\frac{π}{4}$＜α＜$\frac{π}{2}$，0＜β＜$\frac{π}{4}$，f（$\frac{π}{4}$+α）=-$\frac{4}{25}$，f（$\frac{3π}{4}$+β）=-$\frac{12}{169}$，求sin（α+β）的值．

Answer 1

分析 （1）由条件利用二次函数的性质、正弦函数的值域，求得函数f（x）取得最大值．
（2）由条件利用同角三角函数的基本关系、正弦函数的定义域和值域，求得sin（$\frac{π}{4}$+α）、cos（$\frac{π}{4}$+α）、sin（$\frac{3π}{4}$+β）、cos（$\frac{3π}{4}$+β）的值，从而利用两角和差的三角公式求得sin（α+β）=-sin[（$\frac{π}{4}$+α）+（$\frac{3π}{4}$+β）]的值．

解答 解：（1）函数f（x）=-cos²x-sinx+1=sin²x-sinx=${（sinx-\frac{1}{2}）}^{2}$-$\frac{1}{4}$，
故当sinx=$\frac{1}{2}$时，函数f（x）取得最小值为-$\frac{1}{4}$，当sinx=-1时，函数f（x）取得最大值为2．
（2）已知$\frac{π}{4}$＜α＜$\frac{π}{2}$，0＜β＜$\frac{π}{4}$，f（$\frac{π}{4}$+α）=sin²（$\frac{π}{4}$+α）-sin（$\frac{π}{4}$+α）=-$\frac{4}{25}$，
令t=sin（$\frac{π}{4}$+α），则 t²-t=-$\frac{24}{25}$，求得t=$\frac{4}{5}$ 或t=$\frac{1}{5}$．
根据$\frac{π}{4}$+α∈（$\frac{π}{2}$，$\frac{3π}{4}$），可得t=$\frac{4}{5}$，∴cos（$\frac{π}{4}$+α）=-$\frac{3}{5}$．
同理，根据f（$\frac{3π}{4}$+β）=-$\frac{12}{169}$，求得sin（$\frac{3π}{4}$+β）=$\frac{1}{13}$，cos（$\frac{3π}{4}$+β）=-$\frac{2\sqrt{42}}{13}$．
∴sin（α+β）=-sin[（$\frac{π}{4}$+α）+（$\frac{3π}{4}$+β）]=-sin（$\frac{π}{4}$+α）cos（$\frac{3π}{4}$+β）-cos（$\frac{π}{4}$+α）sin（$\frac{3π}{4}$+β）
=-$\frac{4}{5}$×（-$\frac{2\sqrt{42}}{13}$）-（-$\frac{3}{5}$）×$\frac{1}{13}$=$\frac{8\sqrt{42}+3}{65}$．

点评 本题主要考查两角和差的三角公式的应用，二次函数的性质，同角三角函数的基本关系，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．