Question

7．设f（x）是定义在（0，+∞）上的函数，且当x＞1时，f（x）＞0，若对任意的实数x、y都有 f（xy）=f（x）+f（y），f（5）=1，解不等式f（x+1）-f（2x）＞2．

Answer 1

分析 根据题意和式子的特点，证出此函数为偶函数，在（0，+∞）上是增函数，再将不等式化为具体不等式，解此不等式即可．

解答 解：由题意知，对任意的实数x、y都有 f（xy）=f（x）+f（y），
令x=y=-1，代入上式解得f（-1）=0，
令y=-1，代入上式，∴f（-x）=f（-1）+f（x）=f（x），
∴f（x）是偶函数．
设x₂＞x₁＞0，则$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$＞1，
∵当x＞1时，f（x）＞0，
∴f（x₂）-f（x₁）=f（$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$）＞0，
即f（x₂）-f（x₁）＞0，∴f（x₂）＞f（x₁）
∴f（x）在（0，+∞）上是增函数．
（3）∵f（5）=1，∴f（25）=f（5）+f（5）=2，
∴f（x+1）-f（2x）＞2可化为f（$\frac{x+1}{2x}$）＞f（5）
∵f（x）是偶函数，在（0，+∞）上是增函数，
∴不等式可化为f（|$\frac{x+1}{2x}$|）＜f（25），
∴|$\frac{x+1}{2x}$|＜25，且$\frac{x+1}{2x}$≠0，
解得：x＞$\frac{1}{49}$，
即不等式的解集为{x|x＞$\frac{1}{49}$}．

点评 本题的考点是抽象函数的性质及其应用，考查证明函数奇偶性和单调性的方法；求解不等式时利用函数的奇偶性及条件转化为两个函数值的关系，进而由函数的单调性转化为自变量的大小，易错点忽略定义域．