Question

17．函数f（x）=$\sqrt{-2x}$+$\sqrt{{x}^{2}-4x-12}$的值域为[2，+∞）．

Answer 1

分析 先求出函数的定义域，判断函数的单调性，利用函数的单调性进行求解即可．

解答 解：由$\left\{\begin{array}{l}{-2x≥0}\\{{x}^{2}-4x-12≥0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{x≤0}\\{x≥6或x≤-2}\end{array}\right.$，
解得x≤-2，
即函数的定义域为（-∞，-2]．
则f（x）=$\sqrt{-2x}$+$\sqrt{{x}^{2}-4x-12}$=$\sqrt{-2x}$+$\sqrt{（x-2）^{2}-16}$，
则函数在（-∞，-2]上单调递减，
则f（x）≥f（-2）=$\sqrt{4}+\sqrt{4+8-12}$=2+0=2，
即函数的值域为[2，+∞），
故答案为：[2，+∞）

点评 本题主要考查函数值域的求解，利用函数的单调性是解决本题的关键．