Question

6．已知函数f（x）=x²+（a-4）x+3-a．
（1）若方程f（x）-x=0有两个不等的实数根x₁，x₂，求（1-x₁）（1-x₂）的值；
（2）若存在实数x₀∈[0，2]，使得|f（x₀）|＞-2a，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）f（x）带入方程f（x）-x=0得到方程x²+（a-5）x+3-a=0，根据韦达定理即可求出x₁+x₂，x₁x₂，这样便可得出（1-x₁）（1-x₂）=1-（x₁+x₂）+x₁x₂；
（2）若a≥0时，可以看出是存在实数x₀∈[0，2]，使|f（x₀）|＞-2a成立的；而若a＜0时，根据题意，需求|f（x）|在[0，2]上的最大值，让该最大值大于-2a即可：通过对称轴容易判断二次函数f（x）在[0，2]上单调递减，从而求出f（0）=3-a，f（2）=a-1，从而可判断出|f（x）|的最大值便是3-a，从而a只需满足3-a＞-2a，这样求出a的范围，再并上前面的a≥0便可得出实数a的取值范围．

解答 解：（1）由方程f（x）-x=0得：x²+（a-5）x+3-a=0，则该方程的两个不等实数根为x₁，x₂；
根据韦达定理：x₁+x₂=5-a，x₁x₂=3-a；
∴（1-x₁）（1-x₂）=1-（x₁+x₂）+x₁x₂=1-（5-a）+3-a=-1；
（2）①若a≥0，显然一定存在实数x₀∈[0，2]，使得|f（x₀）|＞-2a；
②若a＜0，f（x）=x²+（a-4）x+3-a的对称轴为x=$\frac{4-a}{2}＞2$；
∴f（x）在[0，2]上单调递减，且f（0）=3-a＞0，f（2）=a-1＜0；
∴|f（2）|=1-a＜3-a；
∴|f（x）|在[0，2]上的最大值为3-a；
∴根据题意，需3-a＞-2a；
∴a＞-3；
∴-3＜a＜0；
综上得，a＞-3；
∴实数a的取值范围为（-3，+∞）．

点评 考查韦达定理，二次函数的对称轴，以及二次函数的单调性，要清楚如何求|f（x）|的最大值，不要漏了a≥0的情况．