Question

12．已知圆C过点O（0，0）和点A（-2，2），且圆心C在x轴上．
（1）求圆C的方程；
（2）设定点M的坐标为（-1，0）；
（i）若过点M的任意直线l与圆C相交于P、Q两点，求$\overrightarrow{CP}$•$\overrightarrow{CQ}$的取值范围；
（ii）若点R是圆C上的任意一点，问：在x轴上是否存在定点N使得|RN|=2|RM|，若存在，求出点N的坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）设圆心C（a，0），且$\sqrt{（a+2）^{2}+{2}^{2}}=\sqrt{{a}^{2}}$，解得a=-2，可得圆C的方程；
（2）（i）分类讨论，直线l的斜率存在时，设方程为y=k（x+1），代入（x+2）²+y²=4，利用韦达定理，结合向量的数量积公式，即可求$\overrightarrow{CP}$•$\overrightarrow{CQ}$的取值范围；
（ii）存在N（2，0），满足|RN|=2|RM|，利用距离公式即可证明．

解答 解：（1）∵圆C过点O（0，0）和点A（-2，2），且圆心C在x轴上，
∴设圆心C（a，0），且$\sqrt{（a+2）^{2}+{2}^{2}}=\sqrt{{a}^{2}}$，解得a=-2，
∴圆心C（-2，0），半径r=$\sqrt{（-2）^{2}}$=2，
∴圆的方程为（x+2）²+y²=4．
（2）（i）直线l的斜率不存在时，P（-1，$\sqrt{3}$），Q（-1，-$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{CP}$•$\overrightarrow{CQ}$=-2；
直线l的斜率存在时，设方程为y=k（x+1），代入（x+2）²+y²=4，可得（k²+1）x²+（4+2k²）x+k²=0，
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则x₁+x₂=-$\frac{4+2{k}^{2}}{{k}^{2}+1}$，x₁x₂=$\frac{{k}^{2}}{{k}^{2}+1}$，
∴$\overrightarrow{CP}$•$\overrightarrow{CQ}$=（x₁+2）（x₂+2）+y₁y₂=（x₁+2）（x₂+2）+k²（x₁+1）（x₂+1）
=（k²+1）₁x₂+（k²+2）（x₁+x₂）+k²+4=-2-$\frac{2}{{k}^{2}+1}$，
∵k²≥0，
∴-4≤$\overrightarrow{CP}$•$\overrightarrow{CQ}$≤-2；
（3）存在N（2，0），满足|RN|=2|RM|．
设R（x₀，y₀），则（x₀+2）²+y₀²=4，
∴y₀²=-x₀²-2x₀，
∴|RN|²=（2-x₀）²+y₀²=4-8x₀，
|RM|²=（-1-x₀）²+y₀²=1-2x₀，
∴|RN|=2|RM|，
∴在x轴上存在定点N（2，0），使得|RN|=2|RM|．

点评 本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查向量的数量积公式，考查学生的计算能力，属于中档题．