Question

4．记关于x的不等式$\frac{x-a}{x+4a}$＜0的解集为P，不等式|x-1|≤3 的解集为Q．
（1）若a=3，求P；
（2）若Q⊆P，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）当a=3时，解分式不等式求得集合P．
（2）解绝对值不等式求得Q，分类讨论解分式不等式求得P，再根据Q⊆P求得a的范围．

解答 解：（1）若a=3，关于x的不等式$\frac{x-a}{x+4a}$＜0，即 $\frac{x-3}{x+12}$＜0，即 （x-3）（x+12）＜0，
求得-12＜x＜3，故P=（-12，3）．
（2）不等式|x-1|≤3，即-3≤x-1≤3，求得-2≤x≤4，故Q=[-2，4]． 
当a＞0时，关于x的不等式$\frac{x-a}{x+4a}$＜0 的解集为P=（-4a，a），
∵Q⊆P，∴$\left\{\begin{array}{l}{-4a＜-2}\\{a＞4}\end{array}\right.$，求得a＞4．
当a＜0时，关于x的不等式$\frac{x-a}{x+4a}$＜0 的解集为P=（a，-4a），
∵Q⊆P，∴$\left\{\begin{array}{l}{a＜-2}\\{-4a＞4}\end{array}\right.$，求得a＜-2．
当a=0，P=∅，不满足Q⊆P．
综上可得，a的范围为{a|a＞4，或a＜-2}．

点评 本题主要考查分式不等式、绝对值不等式的解法，集合间的包含关系，体现了转化、分类讨论的数学的思想，属于中档题．