Question

2．若对于一切实数x，y，都有f（x+y）=f（x）+f（y）成立．
（1）求f（0）的值；
（2）判断f（x）的奇偶性；
（3）若f（1）=3，求f（-3）的值．

Answer 1

分析 （1）利用赋值法令x=y=0即可得到结论．
（2）利用函数奇偶性的定义，结合抽象函数，证明f（x）为奇函数；
（3）根据函数奇偶性的性质结合抽象函数的关系进行递推即可．

解答 解：（1）令x=y=0，得f（0+0）=f（0）+f（0），即f（0）=0．
（2）令y=-x，则f（x-x）=f（x）+f（-x）=0，
即f（-x）=-f（x），
∴函数f（x）是奇函数．
（3）∵f（1）=3，
∴f（2）=f（1）+f（1）=3+3=6，
f（3）=f（1）+f（2）=3+6=9，
∵f（x）是奇函数，
∴f（-3）=-f（3）=-9．

点评 本题主要考查抽象函数的应用，利用赋值法结合函数奇偶性的定义是解决本题的关键．