Question

（2012•泸州模拟）对于函数f（x）（x∈D），若存在两条距离为d的直线y=kx+m₁和y=kx+m₂，使任意x∈D都有kx+m₁≤f（x）≤kx+m₂恒成立，则称函数f（x）（x∈D）有一个宽度为d的通道．
下列函数：①f(x)=

1

x

；②f（x）=sinx；③f(x)=

x2-1

；④f（x）=x³+1．
其中[1，+∞）上通道宽度可以为1的函数的序号是

①③

（填上所有正确答案的序号）

Answer 1

分析：对于①，只需考虑反比例函数在[1，+∞）上的值域即可，对于②，要分别考虑函数的值域和图象性质，对于③，则需从函数图象入手，寻找符合条件的直线，对于④，考虑幂函数的图象和性质，才可做出正确判断

解答：解：解：对于①，当x∈[1，+∞）时，0＜

1

x

≤1，故在[1，+∞）有一个宽度为1的通道，两条直线可取y=0，y=1；
对于②，当x∈[1，+∞）时，-1≤sinx≤1，故在[1，+∞）不存在一个宽度为1的通道；
对于③，当x∈[1，+∞）时，f(x)=

x2-1

表示双曲线x²-y²=1在第一象限的部分，双曲线的渐近线为y=x，故可取另一直线为y=x-2，满足在[1，+∞）有一个宽度为1的通道；
对于④，当x∈[1，+∞）时，f（x）∈[2，+∞），故在[1，+∞）不存在一个宽度为1的通道；
故答案为：①③

点评：本题主要考查了对新定义性质的理解和运用，熟知已知四个函数的图象和性质，是解决本题的关键，